pada garis x + 15y = 5!
3. Suatu fungsi f(x) = 2x³+3x²+3. Tentukan:
a. Interval saat fungsi tersebut dikatakan naik
b. Nilai maksimal
Pada permasalahan pertama, terdapat sebuah kurva dengan fungsi: f(x) = x³-3x²+6x+4 dan garis x+15y = 5. Persamaan garis singgung kurva (PGSK) yang tegak lurus garis tersebut adalah 15x-y-23 = 0 dan 15x-y+9 = 0. Pada permasalahan kedua, terdapat sebuah fungsi: f(x) = 2x³+3x²+3. Fungsi tersebut naik pada interval x < -1 dan x > 0. dan memiliki nilai maksimum lokal sebesar 4. Persamaan, interval, dan nilai diperoleh menggunakan konsep turunan.
Penjelasan dengan langkah-langkah
Untuk nomor 2:
Diketahui:
f(x) = x³-3x²+6x+4
Garis x+15y = 5
Ditanya: PGSK tegak lurus garis
Jawab:
- Gradien garis
Dari persamaan garis: x+15y = 5 ⇒ x+15y-5 = 0, diperoleh:
- Koefisien x: A = 1
- Koefisien y: B = 15
- Konstanta: C = -5
Gradien: m₁ = -A/B = -1/15
- Gradien garis singgung kurva
Karena tegak lurus dengan garis, maka:
m₁m₂ = -1
-1/15 m₂ = -1
m₂ = 15
- Turunan fungsi kurva
f'(x) = 3x²-6x+6
- Titik singgung
m = f'(x₁)
15 = 3x₁²-6x₁+6
0 = 3x₁²-6x₁-9
x₁²-2x₁-3 = 0
(x₁-3)(x₁+1) = 0
x₁ = 3 atau x₁ = -1
Untuk x₁ = 3, maka: y₁ = f(3) = 3³-3·3²+6·3+4 = 27-27+18+4 = 22
Untuk x₁ = -1, maka: y₁ = f(-1) = (-1)³-3(-1)²+6(-1)+4 = -1-3-6+4 = -6
Ada dua kemungkinan titik singgung: (3,22) dan (-1,-6).
- PGSK
Untuk titik (3,22):
y-22 = 15(x-3)
y-22 = 15x-45
-15x+y+23 = 0
15x-y-23 = 0
Untuk titik (-1,-6):
y-(-6) = 15(x-(-1))
y+6 = 15(x+1)
y+6 = 15x+15
-15x+y-9 = 0
15x-y+9 = 0
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 15x-y-23 = 0 dan 15x-y+9 = 0.
Untuk nomor 3:
Diketahui: f(x) = 2x³+3x²+3
Ditanya:
a. interval fungsi naik
b. nilai maksimum
Jawab:
Untuk poin a:
- Turunan pertama fungsi
f'(x) = 6x²+6x
- Pertidaksamaan fungsi naik
f'(x) > 0
6x²+6x > 0
x²+x > 0
x(x+1) > 0
x = 0 atau x = -1
- Garis bilangan
++++ | ---- | ++++
-1 0
- Interval fungsi naik
Perhatikan nilai-nilai positif pada garis bilangan, yaitu pada interval x < -1 dan x > 0.
Jadi, fungsi naik pada interval x < -1 dan x > 0.
Untuk poin b:
- Titik stasioner
f'(x) = 0
6x²+6x = 0
x²+x = 0
x(x+1) = 0
x = 0 atau x = -1
- Turunan kedua fungsi
f''(x) = 12x+6
- Uji turunan kedua
f''(0) = 12·0+6 = 0+6 = 6 > 0 (minimum lokal)
f''(-1) = 12(-1)+6 = -12+6 = -6 > 0 (maksimum lokal)
- Nilai maksimum lokal
f(-1) = 2(-1)³+3(-1)²+3 = -2+3+3 = 4
Jadi, nilai maksimum lokal fungsi sebesar 4.
Pelajari lebih lanjut
Materi tentang Menentukan Interval Naik dan Turun dari Suatu Fungsi https://brainly.co.id/tugas/40942195
#BelajarBersamaBrainly
#SPJ1
[answer.2.content]
